According to Shia Fiqh (jurisprudence) it is forbidden to eat Eel, not only Eal but also any other fish that has no scale (and never does during its life):
"Eat any fish that has scales, and do not eat what does not have
scales." (Imam Baqir a.s) [al-Kolayni, al-Kaafi, vol.6 p. 219]; See here.
Also see the followings for similar Ahadeeth from Shia book:
عدّة من أصحابنا، عن سهل بن زياد؛ و محمّد بن يحيى، عن أحمد بن محمّد- عن
ابن محبوب، و أحمد بن محمّد بن أبي نصر جميعا، عن العلاء، عن محمّد بن
مسلم قال: أقرأني أبو جعفر عليه السّلام شيئا من كتاب عليّ عليه السّلام
فإذا فيه: أنهاكم عن الجرّيّ و الزّمّير و المار ماهي و الطّافي و
الطحال. قال: قلت: يا ابن رسول اللّه يرحمك اللّه إنّا نؤتى بالسّمك ليس
له قشر؟ فقال: كل ما له قشر من السمك و ما ليس له قشر فلا تأكله.
عدّة من أصحابنا، عن أحمد بن محمّد، عن عثمان بن عيسى، عن سماعة، عن أبي
عبد اللّه عليه السّلام قال: لا تأكل الجرّيث و لا المار ماهي و لا
طافيا. و لا طحالا لأنّه بيت الدّم و مضغة الشيطان.
عليّ بن إبراهيم، عن أبيه، عن عبد اللّه بن المغيرة، عن عبد اللّه بن
سنان، عن أبي عبد اللّه عليه السّلام قال: كان أمير المؤمنين عليّ بن أبي
طالب عليه السّلام بالكوفة يركب بغلة رسول اللّه صلى اللّه عليه و آله
ثمّ يمرّ بسوق الحيتان فيقول: لا تأكلوا و لا تبيعوا من السمك ما لم يكن
له قشر.
عليّ بن إبراهيم، عن أبيه، عن حنان بن سدير قال: سأل العلاء بن كامل أبا
عبد اللّه عليه السّلام و أنا حاضر عن الجرّيّ. فقال: وجدنا في كتاب عليّ
عليه السّلام أشياء محرّمة من السمك فلا تقربها. ثمّ قال أبو عبد اللّه
عليه السّلام: ما لم يكن له قشر من السمك فلا تقربنّه.
گزيده كافى، ج5، ص: 356-357
In short, all these Ahadeeth announce Eeal as forbidden to eat, Haram. But then what's the reason for that. In a long Hadeeth from the holy prophet --peace be upon him and his household-- many forbidden-to-eat animals and fish are announced to be so as among them are the conversions (Maskh: مسخ):
حَدَّثَنَا جَعْفَرُ بْنُ مُحَمَّدِ بْنِ مَسْرُورٍ رَحِمَهُ اللَّهُ
قَالَ حَدَّثَنَا الْحُسَيْنُ بْنُ مُحَمَّدِ بْنِ عَامِرٍ عَنِ
الْمُعَلَّى بْنِ مُحَمَّدٍ الْبَصْرِيِّ عَنْ بِسْطَامَ بْنِ مُرَّةَ
عَنْ إِسْحَاقَ بْنِ حَسَّانَ عَنِ الْهَيْثَمِ بْنِ وَاقِدٍ عَنْ
عَلِيِّ بْنِ الْحَسَنِ الْعَبْدِيِّ عَنْ أَبِي سَعِيدٍ الْخُدْرِيِ
أَنَّهُ سُئِلَ مَا قَوْلُكَ فِي هَذَا السَّمَكِ الَّذِي يَزْعُمُ
إِخْوَانُنَا مِنْ أَهْلِ الْكُوفَةِ أَنَّهُ حَرَامٌ فَقَالَ أَبُو
سَعِيدٍ سَمِعْتُ رَسُولَ اللَّهِ ص يَقُولُ الْكُوفَةُ جُمْجُمَةُ
الْعَرَبِ وَ رُمْحُ اللَّهِ تَبَارَكَ وَ تَعَالَى وَ كَنْزُ
الْإِيمَانِ فَخُذْ عَنْهُمْ أُخْبِرُكَ [عَنْ] رَسُولِ اللَّهِ ص
أَنَّهُ مَكَثَ بِمَكَّةَ يَوْماً وَ لَيْلَةً بِذِي طُوًى ثُمَّ خَرَجَ
وَ خَرَجْتُ مَعَهُ فَمَرَرْنَا بِرِفْقَةٍ جُلُوسٍ يَتَغَدَّوْنَ
فَقَالُوا يَا رَسُولَ اللَّهِ الْغَدَاءَ فَقَالَ لَهُمْ أَفْرِجُوا
لِنَبِيِّكُمْ فَجَلَسَ بَيْنَ رَجُلَيْنِ وَ جَلَسْتُ وَ تَنَاوَلَ
رَغِيفاً فَصَدَعَ نِصْفَهُ ثُمَّ نَظَرَ إِلَى أُدْمِهِمْ فَقَالَ مَا
أُدْمُكُمْ قَالُوا الْجِرِّيُّ يَا رَسُولَ اللَّهِ فَرَمَى
بِالْكِسْرَةِ مِنْ يَدِهِ وَ قَامَ قَالَ أَبُو سَعِيدٍ- وَ تَخَلَّفْتُ
بَعْدَهُ لِأَنْظُرَ مَا رَأَى النَّاسُ فَاخْتَلَفَ النَّاسُ فِيمَا
بَيْنَهُمْ فَقَالَتْ طَائِفَةٌ حَرَّمَ رَسُولُ اللَّهِ ص الْجِرِّيَّ
وَ قَالَتْ طَائِفَةٌ لَمْ يُحَرِّمْهُ وَ لَكِنْ عَافَهُ وَ لَوْ كَانَ
حَرَّمَهُ نَهَانَا عَنْ أَكْلِهِ قَالَ فَحَفِظْتُ مَقَالَةَ الْقَوْمِ
وَ تَبِعْتُ رَسُولَ اللَّهِ ص حَتَّى لَحِقْتُهُ ثُمَّ غَشِينَا
رِفْقَةً أُخْرَى يَتَغَدَّوْنَ فَقَالُوا يَا رَسُولَ اللَّهِ
الْغَدَاءَ فَقَالَ نَعَمْ أَفْرِجُوا لِنَبِيِّكُمْ فَجَلَسَ بَيْنَ
رَجُلَيْنِ وَ جَلَسْتُ فَلَمَّا تَنَاوَلَ كِسْرَةً نَظَرَ إِلَى
أُدْمِهِمْ فَقَالَ مَا أُدْمُكُمْ هَذَا قَالُوا ضَبٌّ يَا رَسُولَ
اللَّهِ فَرَمَى الْكِسْرَةَ وَ قَامَ قَالَ أَبُو سَعِيدٍ فَتَخَلَّفْتُ
بَعْدَهُ فَإِذَا بِالنَّاسِ فِرْقَتَانِ قَالَتْ فِرْقَةٌ حَرَّمَ
رَسُولُ اللَّهِ الضَّبَّ فَمِنْ هُنَاكَ لَمْ يَأْكُلْهُ وَ قَالَتْ
فِرْقَةٌ أُخْرَى إِنَّمَا عَافَهُ وَ لَوْ حَرَّمَهُ لَنَهَانَا عَنْهُ
ثُمَّ قَالَ تَبِعْتُ رَسُولَ اللَّهِ ص حَتَّى لَحِقْتُهُ فَمَرَرْنَا
بِأَصْلِ الصَّفَا وَ فِيهَا قُدُورٌ تَغْلِي فَقَالُوا يَا رَسُولَ
اللَّهِ لَوْ تَكَرَّمْتَ عَلَيْنَا حَتَّى تُدْرِكَ قُدُورَنَا قَالَ
لَهُمْ مَا فِي قُدُورِكُمْ قَالُوا حُمُرٌ لَنَا نَرْكَبُهَا فَقَامَتْ
فَذَبَحْنَاهَا فَدَنَا رَسُولُ اللَّهِ ص مِنَ الْقُدُورِ فَأَكْفَأَهَا
بِرِجْلِهِ ثُمَّ انْطَلَقَ جَوَاداً وَ تَخَلَّفْتُ بَعْدَهُ فَقَالَ
بَعْضُهُمْ حَرَّمَ رَسُولُ اللَّهِ ص لَحْمَ الْحَمِيرِ وَ قَالَ
بَعْضُهُمْ كَلَّا إِنَّمَا أَفْرَغَ قُدُورَكُمْ حَتَّى لَا تَعُودُوهُ
فَتَذْبَحُوا دَوَابَّكُمْ قَالَ أَبُو سَعِيدٍ فتَبِعْتُ رَسُولَ
اللَّهِ ص فَقَالَ يَا أَبَا سَعِيدٍ ادْعُ بِلَالًا فَلَمَّا جَاءَهُ
بِلَالٌ قَالَ يَا بِلَالُ اصْعَدْ أَبَا قُبَيْسٍ فَنَادِ عَلَيْهِ
أَنَّ رَسُولَ اللَّهِ ص حَرَّمَ الْجِرِّيَّ وَ الضَّبَّ وَ الْحُمُرَ
الْأَهْلِيَّةَ أَلَا فَاتَّقُوا اللَّهَ وَ لَا تَأْكُلُوا مِنَ
السَّمَكِ إِلَّا مَا كَانَ لَهُ قِشْرٌ وَ مَعَ الْقِشْرِ فُلُوسٌ إِنَّ
اللَّهَ تَبَارَكَ وَ تَعَالَى مَسَخَ سَبْعَمِائَةِ أُمَّةٍ عَصَوُا
الْأَوْصِيَاءَ بَعْدَ الرُّسُلِ فَأَخَذَ أَرْبَعُمِائَةِ أُمَّةٍ
مِنْهُمْ بَرّاً وَ ثَلَاثُمِائَةِ أُمَّةٍ مِنْهُمْ بَحْراً ثُمَّ تَلَا
هَذِهِ الْآيَةَ "فَجَعَلْناهُمْ أَحادِيثَ وَ مَزَّقْناهُمْ كُلَّ
مُمَزَّق"
علل الشرائع شیخ صدوق، ج2، باب 222
And note that the verse in Quran which is related to this issue is stated to be [34:19] in the previous Hadeeth:
فَقَالُوا رَبَّنَا بَاعِدْ بَيْنَ أَسْفَارِنَا وَظَلَمُوا أَنفُسَهُمْ
فَجَعَلْنَاهُمْ أَحَادِيثَ وَمَزَّقْنَاهُمْ كُلَّ مُمَزَّقٍ إِنَّ فِي
ذَٰلِكَ لَآيَاتٍ لِّكُلِّ صَبَّارٍ شَكُورٍ
But they said: "Our Lord! Place longer distances between our
journey-stages": but they wronged themselves (therein). At length We
made them as a tale (that is told), and We dispersed them all in
scattered fragments. Verily in this are Signs for every (soul that is)
patiently constant and grateful.